الفرق بين مربيعين
المربع شكل هندسي ذو أربعة أضلاع متساوية وزواياه متساوية ومساحته تساوي الضلع × نفسه فإن كان طول ضلعه س سم كانت مساحته تساوي س × س وهذا الناتج يساوي س2 والحال نفسه كقولنا ص2 مساحة مربع طول ضلعه ص وأن س2، ص2 مقدران جبريان ولكن لهم مفهوم المساحة السابق ذكره ويقال للمقدار س2– ص2 بأنه الفرق بين مربعين (فرق المساحة بين مربع طول ضلعه س وآخر طول ضلعه ص)
ليس بحثنا هذا يتطرق لبرهان ناتج الفرق الذي يساوي (س – ص)(س + ص) أي أن :
س2 – ص2 = (س – ص)(س + ص) والأمر ليس مقصور على س2 بل كل كمية مربعة مثل 9س2، 25س2ص2، (س – 1)2 على سبيل المثال
المقدار الجبري
التحليل كفرق بين مربعين إن وجد
9س2 – 16
(3س – 4)(3س + 4 )
1 – س2
(1 – س)(1 + س)
س2 – 9
(س – 3)(س + 3 )
2س2 – 8
2(س2 – 4) = 2(س – 2)(س + 2)
س2 + 9
ليست فرق بين مربعين
أكمل العمود الثاني كالسابق
16 – 9 س2
...
س2 – 1
...
2س2 – 18
...
(س – 1)2 – 1
...
2 س2+ 8
...
ليكن لدينا المقدار الآتي وهو على صورة كسر فالمفترض تبسيطه بتحليل البسط والمقام إن وجدَّ هذا التحليل وحسب ما أوردناه
9س2 – 25 (3س – 5)(3س + 5) 3س – 5
ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ
6س + 10 2(3س + 5) 2
جرى تحليل البسط كفرق بين مربعين والمقام بإخراج العامل المشترك ومن ثمَّ حذفنا 3س + 5 ≠ 0 لنأخذ مثال أبسط من السابق لهدف آخر وهو
س2 – 25 (س – 5)(س + 5)
ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س – 5
س + 5 (س + 5)
كما سبق حللنا البسط وحذفنا س + 5 ≠ 0 للفائدة بصورة أكبر لكون الهدف التفاضل
قد يفكر البعض ومن حقهم ذلك بأن يجري عملية القسمة المطولة بالصورة الآتية :
س – 5
──────────┌
س2 – 25 │ س + 5
─────
س2 + 5 س بالطرح
──────────
– 5 س – 25
– 5 س – 25 بالطرح
──────────
صفر
وناتج القسمة المطولة هذه هو س – 5 وهذا الحل صحيح كتبسيط للكسر حال عدم معرفتنا للفرق بين المربعين أو التحليل لأي من البسط والمقام أو كلاهما والتي قد نجبر عليها أحياناً في بعض المسائل مثل المقدار الآتي :
2س3 + 3س2– 5
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 – 1
هذا يقودنا لنعرف ماذا نعني بالعامل للمقدار الجبري فإذا وضعنا س = 1 في البسط لكان الناتج يساوي صفر وهذا يعني أن البسط يقبل القسمة على س – 1 وعلى العموم إذا كانت هناك قيمة لـ س تجعل مقدار جبري في المتغير س يساوي الصفر فهذا يعني أن المقدار يقبل القسمة على (س ـ القيمة) فإذا وضعنا في المقام أي س2– 1 القيمة 1 بدل س فالناتج يساوي صفر أي س2– 1 يقبل القسمة على س – 1 بل يجب أن نعلم أيضاً بأن س – 1 هو عامل للمقدار س2– 1 ليس هذا فقط بل يجب أن نعلم أيضاً بأن 1 هو جذراً للمعادلة س2– 1 = صفر وفي كسرنا السابق يصعب التحليل لذا نبحث على القيمة للمتغير س التي تجعل كل من البسط والمقام يساوي الصفر وهي ستكون جاهزة في موضوع التفاضل علماً بوجود طريقة أخرى لتبسيط هذا الكسر ولكن محلها في التفاضل وفي الغايات على وجه التحديد، وعليه لتبسيط الكسر السابق علينا بالقسمة المطولة ما لم نجد طريقة أخرى بمعالجة البسط التي ستستهلك وقتاً لا بأس به.
وعليه يكون وللمعرفة فقط
إذا كانت د(س) = أ سن + ب سن–1+ حـ سن–2+ ... + ك ، وكانت د(ل) = صفر فإنَّ :
1) المقدار أ سن + ب سن–1+ حـ سن–2+ ... + ك يقبل القسمة على س – ل
2) س – ل عامل للمقدار أ سن + ب سن–1+ حـ سن–2+ ... + ك
3) ل جذراً للمعادلة : أ سن + ب سن–1+ حـ سن–2+ ... + ك = 0
--------------------------------------------------------------------------------
(احمد عيسى الشمري)
المربع شكل هندسي ذو أربعة أضلاع متساوية وزواياه متساوية ومساحته تساوي الضلع × نفسه فإن كان طول ضلعه س سم كانت مساحته تساوي س × س وهذا الناتج يساوي س2 والحال نفسه كقولنا ص2 مساحة مربع طول ضلعه ص وأن س2، ص2 مقدران جبريان ولكن لهم مفهوم المساحة السابق ذكره ويقال للمقدار س2– ص2 بأنه الفرق بين مربعين (فرق المساحة بين مربع طول ضلعه س وآخر طول ضلعه ص)
ليس بحثنا هذا يتطرق لبرهان ناتج الفرق الذي يساوي (س – ص)(س + ص) أي أن :
س2 – ص2 = (س – ص)(س + ص) والأمر ليس مقصور على س2 بل كل كمية مربعة مثل 9س2، 25س2ص2، (س – 1)2 على سبيل المثال
المقدار الجبري
التحليل كفرق بين مربعين إن وجد
9س2 – 16
(3س – 4)(3س + 4 )
1 – س2
(1 – س)(1 + س)
س2 – 9
(س – 3)(س + 3 )
2س2 – 8
2(س2 – 4) = 2(س – 2)(س + 2)
س2 + 9
ليست فرق بين مربعين
أكمل العمود الثاني كالسابق
16 – 9 س2
...
س2 – 1
...
2س2 – 18
...
(س – 1)2 – 1
...
2 س2+ 8
...
ليكن لدينا المقدار الآتي وهو على صورة كسر فالمفترض تبسيطه بتحليل البسط والمقام إن وجدَّ هذا التحليل وحسب ما أوردناه
9س2 – 25 (3س – 5)(3س + 5) 3س – 5
ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ
6س + 10 2(3س + 5) 2
جرى تحليل البسط كفرق بين مربعين والمقام بإخراج العامل المشترك ومن ثمَّ حذفنا 3س + 5 ≠ 0 لنأخذ مثال أبسط من السابق لهدف آخر وهو
س2 – 25 (س – 5)(س + 5)
ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س – 5
س + 5 (س + 5)
كما سبق حللنا البسط وحذفنا س + 5 ≠ 0 للفائدة بصورة أكبر لكون الهدف التفاضل
قد يفكر البعض ومن حقهم ذلك بأن يجري عملية القسمة المطولة بالصورة الآتية :
س – 5
──────────┌
س2 – 25 │ س + 5
─────
س2 + 5 س بالطرح
──────────
– 5 س – 25
– 5 س – 25 بالطرح
──────────
صفر
وناتج القسمة المطولة هذه هو س – 5 وهذا الحل صحيح كتبسيط للكسر حال عدم معرفتنا للفرق بين المربعين أو التحليل لأي من البسط والمقام أو كلاهما والتي قد نجبر عليها أحياناً في بعض المسائل مثل المقدار الآتي :
2س3 + 3س2– 5
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 – 1
هذا يقودنا لنعرف ماذا نعني بالعامل للمقدار الجبري فإذا وضعنا س = 1 في البسط لكان الناتج يساوي صفر وهذا يعني أن البسط يقبل القسمة على س – 1 وعلى العموم إذا كانت هناك قيمة لـ س تجعل مقدار جبري في المتغير س يساوي الصفر فهذا يعني أن المقدار يقبل القسمة على (س ـ القيمة) فإذا وضعنا في المقام أي س2– 1 القيمة 1 بدل س فالناتج يساوي صفر أي س2– 1 يقبل القسمة على س – 1 بل يجب أن نعلم أيضاً بأن س – 1 هو عامل للمقدار س2– 1 ليس هذا فقط بل يجب أن نعلم أيضاً بأن 1 هو جذراً للمعادلة س2– 1 = صفر وفي كسرنا السابق يصعب التحليل لذا نبحث على القيمة للمتغير س التي تجعل كل من البسط والمقام يساوي الصفر وهي ستكون جاهزة في موضوع التفاضل علماً بوجود طريقة أخرى لتبسيط هذا الكسر ولكن محلها في التفاضل وفي الغايات على وجه التحديد، وعليه لتبسيط الكسر السابق علينا بالقسمة المطولة ما لم نجد طريقة أخرى بمعالجة البسط التي ستستهلك وقتاً لا بأس به.
وعليه يكون وللمعرفة فقط
إذا كانت د(س) = أ سن + ب سن–1+ حـ سن–2+ ... + ك ، وكانت د(ل) = صفر فإنَّ :
1) المقدار أ سن + ب سن–1+ حـ سن–2+ ... + ك يقبل القسمة على س – ل
2) س – ل عامل للمقدار أ سن + ب سن–1+ حـ سن–2+ ... + ك
3) ل جذراً للمعادلة : أ سن + ب سن–1+ حـ سن–2+ ... + ك = 0
--------------------------------------------------------------------------------
(احمد عيسى الشمري)
