تيرتبط مفهوم الاحتمال ارتباطا وثيقا بمفهومين اساسين هما الاختبار (او التجربة -فضاء العينة) والحادث . وعليه ضرورة تحديد هذين المفهومين تحديدا دقيقا . فلو اننا سحبنا شيئا من مجموعة او قمنا بقياس سرعة السيارات المارة في شارع ما فاننا نقوم في هذه الحالات قد قمنا باختبار او تجربة . وحساب الاحتمالات يعطي الاختبار مفهوم اوسع واشمل واعم . الا اننا غالبا ما نصب اهتمامنا على دراسة جزء من نتيجة تجربة او الاختبار فناخذ مثلا للنتيجة كلها .
1- فضاء العينة sample space : هي المجموعة التي عناصرها جميع النتائج الممكنة للتجربة او الاختبار وتسمى ايضا المجموعة الاساسية للاحتمالات ويرمز لها مثلا الرمز F .
مثال : اذا القينا قطعة نقود مرة واحدة فان فضاء العينة يكون :
F=(p, T) 00
حيث p صورة و T الكتابة
2-الحادث Event : هو مجموعة جزئية من فضاء العينة لتجربة ما اي انه مجموعة محددة من من الحواداث الابتدائية التي تنتمي لفضاء العينة .
ففي المثال السابق يمثل الحصول على الوجه P حادثا وكذلك الحصول على الوجه الاخر T .
امثلة عملية على قوانين الاحتمال
اولا : عندما تكون الاحداث متنافية
مثال : سحبت قطرة دم من شخص يرغب فحص دمه . ماهو احتمال ان دم هذا الشخص من صنف غير الصنف O ؟ الحل
ان احتمال ان يكون دم هذا الشخص من صنف غير الصنف O هو :
بما ان اصناف الدم هي اما A او B او AB او O اذن
P (A or B or AB)= P((A) P(B) P(AB).........1
P (A or B or AB)= 1/4 1/4 1/4 = 3/4 = 0.75
او بطريقة اخرى وبما ان مجموع الحالات الممكنة يساوي 1 فان احتمال O يكون
P(O) = 1-(1/4) = 3/4 = 0.75
ثانيا : عندما تكون الحواث غير متنافية :
مثال : اذا علمت ان احتمال سقوط المطر في احد ايام الربيع هو 0.52 وان احتمال كون الطقس مشمس هو 0.36 وان احتمال كون الطقس مشمس وممطر في ان واحد هو 0.18 ، ماهو احتمال ان يكون الطقس مشمس او ممطر .
الحل :
نفرض ان E1 تمثل حادثة سقوط المطر هذا اليوم . وان E2 تمثل حالة الطقس مشمس في هذا اليوم . عندئذ يكون :
P(E1 or E2) = P(E1) P(E2) -P(E1E2) ......1
P(E1 or E2) = 0.52 0.36 -0.18 = 0.70
امثلة عملية على قوانين الاحتمال
ثالثا : عندما تكون الاحداث مستقلة
مثال : في وجبة انتاج مؤلفة من 12 وحدة توجد 4 وحدات معيبة . فاذا علمت انه تم سحب 3 وحدات من هذه الوجبة عشوائيا الواحدة تلو الاخرى . ماهو احتمال ان تكون هذه الوحدات الثلاثة :
أ- جيدة ، ب-معيبة
الحل :
واضح ان عدد الوحدات الجيدة هو 8 وعليه فان :
أ- احتمال سحب الوحدة الاولى وهي جيدة يكون P(E1)=8/12
احتمال سحب الوحدة الثانية وهي جيدة يكون P(E2)=7/11
احتمال سحب الوحدة الثالثة وهي جيدة يكون P(E3)=6/10
وحيث ان الحوادث مستقلة فان احتمال ان تكون الوحدات الثلاث المسحوبة بحالة جيدة هو :
P(E1 or E2 or E3 )= 8/12 * 7/11 * 6/10 = 0.255
ب-احتمال سحب الوحدة الاولى وهي معيبة يكون P(E1)=4/12
احتمال سحب الوحدة الثانية وهي معيبة يكون P(E2)=3/11
احتمال سحب الوحدة الثالثة وهي معيبة يكون P(E3)=2/10
وعليه فان احتمال ان تكون الوحدات الثلاثة المسحوبة معيبة هو
P(E1 or E2 or E3 )= 4/12 * 3/11 * 2/10 = 0.018[b]
1- فضاء العينة sample space : هي المجموعة التي عناصرها جميع النتائج الممكنة للتجربة او الاختبار وتسمى ايضا المجموعة الاساسية للاحتمالات ويرمز لها مثلا الرمز F .
مثال : اذا القينا قطعة نقود مرة واحدة فان فضاء العينة يكون :
F=(p, T) 00
حيث p صورة و T الكتابة
2-الحادث Event : هو مجموعة جزئية من فضاء العينة لتجربة ما اي انه مجموعة محددة من من الحواداث الابتدائية التي تنتمي لفضاء العينة .
ففي المثال السابق يمثل الحصول على الوجه P حادثا وكذلك الحصول على الوجه الاخر T .
امثلة عملية على قوانين الاحتمال
اولا : عندما تكون الاحداث متنافية
مثال : سحبت قطرة دم من شخص يرغب فحص دمه . ماهو احتمال ان دم هذا الشخص من صنف غير الصنف O ؟ الحل
ان احتمال ان يكون دم هذا الشخص من صنف غير الصنف O هو :
بما ان اصناف الدم هي اما A او B او AB او O اذن
P (A or B or AB)= P((A) P(B) P(AB).........1
P (A or B or AB)= 1/4 1/4 1/4 = 3/4 = 0.75
او بطريقة اخرى وبما ان مجموع الحالات الممكنة يساوي 1 فان احتمال O يكون
P(O) = 1-(1/4) = 3/4 = 0.75
ثانيا : عندما تكون الحواث غير متنافية :
مثال : اذا علمت ان احتمال سقوط المطر في احد ايام الربيع هو 0.52 وان احتمال كون الطقس مشمس هو 0.36 وان احتمال كون الطقس مشمس وممطر في ان واحد هو 0.18 ، ماهو احتمال ان يكون الطقس مشمس او ممطر .
الحل :
نفرض ان E1 تمثل حادثة سقوط المطر هذا اليوم . وان E2 تمثل حالة الطقس مشمس في هذا اليوم . عندئذ يكون :
P(E1 or E2) = P(E1) P(E2) -P(E1E2) ......1
P(E1 or E2) = 0.52 0.36 -0.18 = 0.70
امثلة عملية على قوانين الاحتمال
ثالثا : عندما تكون الاحداث مستقلة
مثال : في وجبة انتاج مؤلفة من 12 وحدة توجد 4 وحدات معيبة . فاذا علمت انه تم سحب 3 وحدات من هذه الوجبة عشوائيا الواحدة تلو الاخرى . ماهو احتمال ان تكون هذه الوحدات الثلاثة :
أ- جيدة ، ب-معيبة
الحل :
واضح ان عدد الوحدات الجيدة هو 8 وعليه فان :
أ- احتمال سحب الوحدة الاولى وهي جيدة يكون P(E1)=8/12
احتمال سحب الوحدة الثانية وهي جيدة يكون P(E2)=7/11
احتمال سحب الوحدة الثالثة وهي جيدة يكون P(E3)=6/10
وحيث ان الحوادث مستقلة فان احتمال ان تكون الوحدات الثلاث المسحوبة بحالة جيدة هو :
P(E1 or E2 or E3 )= 8/12 * 7/11 * 6/10 = 0.255
ب-احتمال سحب الوحدة الاولى وهي معيبة يكون P(E1)=4/12
احتمال سحب الوحدة الثانية وهي معيبة يكون P(E2)=3/11
احتمال سحب الوحدة الثالثة وهي معيبة يكون P(E3)=2/10
وعليه فان احتمال ان تكون الوحدات الثلاثة المسحوبة معيبة هو
P(E1 or E2 or E3 )= 4/12 * 3/11 * 2/10 = 0.018[b]
