بسم الله الرحمن الرحيم
الجـبر أحد الفروع الرئيسية
في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم.
ويُرمَز للأعداد المجهولة في الجبر بحروف مثل س أو ص. وفي بعض المسائل يمكن استبدال عدد واحد فقط بالرمز. وكمثال بسيط نلاحظ أنه حتى تصبح الجملة س + 3 = 8 صحيحة فيجب أن نعوّض عن س بالعدد 5 وذلك لأن 5 + 3 = 8.
أمّا في بعض المسائل الأخرى فإنه يمكن التعويض عن الرمز بعدد أو أكثر. على سبيل المثال، حتى نحقق صحة الجملة الجبرية س + ص = 12 قد نضع س تساوي 6 وص تساوي 6، أو س تساوي 4، و ص تساوي 8. في مثل هذه الجمل الجبرية، تستطيع الحصول على قيم عديدة لـ س تجعل الجمل صحيحة إذا أعطيْتَ لـ ص قيمًا مختلفة.
ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط. فعلى سبيل المثال لنفرض أن طائرة تقطع مسافة 1,710كم في أربع ساعات إذا كان الطيران في اتجاه هبوب الريح ولكنها تقطع 1,370 كم في خمس ساعات إذا كان الطيران بعكس اتجاه هبوب الريح. باستخدام الجبر نستطيع أن نجد سرعة الطائرة وسرعة الريح.
--------------------------------------------------------------------------------
مصطلحات مستخدمة في الجبر
--------------------------------------------------------------------------------
الأس || عدد يوضع فوق عدد أو متغير من الجهة اليسرى ليدل على عدد المرات التي يُستخدم فيها كعامل.
إشارات التجميع الهلالان ( )، الحاصرتان { }، المعقوفان [ ]. وتستخدم في الجبر لحصر الصيغ الجبرية.
التربيعي || أو من الدرجة الثانية متغير مضروب في نفسه ¸أي مستخدم كعامل مرتين•.
ثنائي الحد عبارة في الجبر تتكون من حدين بينهما الرمز + أو الرمز -.
الثابــــت عدد أو متغير مجاله مجموعة مكونة من عنصر واحد.
جذور المعادلة الأعداد التي تجعل المعادلة تقريراً صائبًا عند إحلالها محل المتغيرات في المعادلة.
الحـــد جزء من صيغة رياضية يرتبط مع حدود أخرى باستخدام عملية الجمع أو الطرح.
الصيغة عدد أو متغير أو أعداد ومتغيرات مرتبطة مع بعضها بعمليات مثل الجمع، الطرح، الضرب، القسمة.
العوامل صيغتان أو أكثر مضروبة ببعضها.
القيمة المطلـقة لعدد ما هي مقدار العدد موجبا كان أو سالبًا.
متعدد الحدود عبارة مكونة من حدين أو أكثر.
المعادلة جملة رياضية تعبر عن صيغتين متساويتين.
المعامل ما يضرب به متغير أو عدد وعادة يكتب قبل المتغير.
المتغـير رمز جبري عادة ما يكون رمزا ويمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر.
وحيد الحد عبارة مكونة من حاصل ضرب عدد بمتغير.
تعلُّم الجبر
يرمز العدد في الحساب لمجموعة تحتوي على ذلك العدد من الأشياء، فمثلاً العدد 5 دائمًا يرمز لمجموعة تحتوي على 5 أشياء. أما في الجبر فإن الرموز قد تُستبدل بالأعداد، غير أنه من الممكن أن يحل عدد أو أكثر محل رمز واحد. وحتى نتعلم الجبر يجب علينا أن نتعلّم أولاً كيف تُستخدم الرموز محل الأعداد. ومن ثم كيفية إنشاء الجمل الجبرية عن الأعداد.
المجموعات والمتغيرات. هناك علاقة بين الرموز في الجبر ومجموعات الأعداد. فمن المؤكد أن لكل منا بعض الإلمام بمجموعات الأشياء، مثل مجموعات الكتب، ومجموعات الطوابع البريدية، ومجموعات الصحون. ومجموعات الأعداد لاتختلف عن هذه المجموعات كثيراً. وإحدى الطرق لوصف مجموعات الأعداد في الجبر هي أنْ نقوم باستخدام أحد الحروف الأبجدية مثل ص كاسم لها. ثم نصف أعداد هذه المجموعة بحصرها بين قوسين من الشكل { }. فمثلاً يمكن التعبير عن مجموعة الأرقام من 1 إلى 9 كالتالي:
أ = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9} .
أما مجموعة الأعداد الفردية التي تقل عن 20 فهي:
ب = {1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19}.
وهذان المثالان يبينان نماذج من المجموعات المستخدمة في الجبر.
لنفترض أن أعمار أربعة أشخاص كانت على التوالي: 12، 15، 20، 24 عاما.
عندها يمكن كتابة هذه الأعمار كمجموعة أعداد.
أ = {12، 15، 20، 24}.
كم يكون عمر كل منهم بعد ثلاث سنوات ؟ إنّ إحدى طرق الإجابة على هذا السّؤال تكون بأن نكتب 12 + 3، 15 + 3، 20 + 3 و 24 + 3. نلاحظ أن العدد 3 مكرر في كل من ¸الصيغ• الأربع. في الجبر نستطيع أن نعبر عن جميع الصيغ السابقة بصيغة مهمة واحدة هي م + 3 حيث م هو أي عدد من أعداد المجموعة أ. أي أنه يمكن استبدال أي من الأعداد 12، 15، 20 أو 24 بالرمز م. ويُسمّى الرمز م المتغيِّر، وتُسمَّى المجموعة أ مجال هذا المتغير، أما العدد 3 في الصيغة م + 3 فيسمى الثابت وذلك لأن قيمته واحدة دائما. ويُعرّف المتغيِّر في الجبر بأنه رمز يمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر ينتمي إلى مجموعة .
(احمد عيسى الشمري)
الجـبر أحد الفروع الرئيسية
في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم.
ويُرمَز للأعداد المجهولة في الجبر بحروف مثل س أو ص. وفي بعض المسائل يمكن استبدال عدد واحد فقط بالرمز. وكمثال بسيط نلاحظ أنه حتى تصبح الجملة س + 3 = 8 صحيحة فيجب أن نعوّض عن س بالعدد 5 وذلك لأن 5 + 3 = 8.
أمّا في بعض المسائل الأخرى فإنه يمكن التعويض عن الرمز بعدد أو أكثر. على سبيل المثال، حتى نحقق صحة الجملة الجبرية س + ص = 12 قد نضع س تساوي 6 وص تساوي 6، أو س تساوي 4، و ص تساوي 8. في مثل هذه الجمل الجبرية، تستطيع الحصول على قيم عديدة لـ س تجعل الجمل صحيحة إذا أعطيْتَ لـ ص قيمًا مختلفة.
ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط. فعلى سبيل المثال لنفرض أن طائرة تقطع مسافة 1,710كم في أربع ساعات إذا كان الطيران في اتجاه هبوب الريح ولكنها تقطع 1,370 كم في خمس ساعات إذا كان الطيران بعكس اتجاه هبوب الريح. باستخدام الجبر نستطيع أن نجد سرعة الطائرة وسرعة الريح.
--------------------------------------------------------------------------------
مصطلحات مستخدمة في الجبر
--------------------------------------------------------------------------------
الأس || عدد يوضع فوق عدد أو متغير من الجهة اليسرى ليدل على عدد المرات التي يُستخدم فيها كعامل.
إشارات التجميع الهلالان ( )، الحاصرتان { }، المعقوفان [ ]. وتستخدم في الجبر لحصر الصيغ الجبرية.
التربيعي || أو من الدرجة الثانية متغير مضروب في نفسه ¸أي مستخدم كعامل مرتين•.
ثنائي الحد عبارة في الجبر تتكون من حدين بينهما الرمز + أو الرمز -.
الثابــــت عدد أو متغير مجاله مجموعة مكونة من عنصر واحد.
جذور المعادلة الأعداد التي تجعل المعادلة تقريراً صائبًا عند إحلالها محل المتغيرات في المعادلة.
الحـــد جزء من صيغة رياضية يرتبط مع حدود أخرى باستخدام عملية الجمع أو الطرح.
الصيغة عدد أو متغير أو أعداد ومتغيرات مرتبطة مع بعضها بعمليات مثل الجمع، الطرح، الضرب، القسمة.
العوامل صيغتان أو أكثر مضروبة ببعضها.
القيمة المطلـقة لعدد ما هي مقدار العدد موجبا كان أو سالبًا.
متعدد الحدود عبارة مكونة من حدين أو أكثر.
المعادلة جملة رياضية تعبر عن صيغتين متساويتين.
المعامل ما يضرب به متغير أو عدد وعادة يكتب قبل المتغير.
المتغـير رمز جبري عادة ما يكون رمزا ويمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر.
وحيد الحد عبارة مكونة من حاصل ضرب عدد بمتغير.
تعلُّم الجبر
يرمز العدد في الحساب لمجموعة تحتوي على ذلك العدد من الأشياء، فمثلاً العدد 5 دائمًا يرمز لمجموعة تحتوي على 5 أشياء. أما في الجبر فإن الرموز قد تُستبدل بالأعداد، غير أنه من الممكن أن يحل عدد أو أكثر محل رمز واحد. وحتى نتعلم الجبر يجب علينا أن نتعلّم أولاً كيف تُستخدم الرموز محل الأعداد. ومن ثم كيفية إنشاء الجمل الجبرية عن الأعداد.
المجموعات والمتغيرات. هناك علاقة بين الرموز في الجبر ومجموعات الأعداد. فمن المؤكد أن لكل منا بعض الإلمام بمجموعات الأشياء، مثل مجموعات الكتب، ومجموعات الطوابع البريدية، ومجموعات الصحون. ومجموعات الأعداد لاتختلف عن هذه المجموعات كثيراً. وإحدى الطرق لوصف مجموعات الأعداد في الجبر هي أنْ نقوم باستخدام أحد الحروف الأبجدية مثل ص كاسم لها. ثم نصف أعداد هذه المجموعة بحصرها بين قوسين من الشكل { }. فمثلاً يمكن التعبير عن مجموعة الأرقام من 1 إلى 9 كالتالي:
أ = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9} .
أما مجموعة الأعداد الفردية التي تقل عن 20 فهي:
ب = {1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19}.
وهذان المثالان يبينان نماذج من المجموعات المستخدمة في الجبر.
لنفترض أن أعمار أربعة أشخاص كانت على التوالي: 12، 15، 20، 24 عاما.
عندها يمكن كتابة هذه الأعمار كمجموعة أعداد.
أ = {12، 15، 20، 24}.
كم يكون عمر كل منهم بعد ثلاث سنوات ؟ إنّ إحدى طرق الإجابة على هذا السّؤال تكون بأن نكتب 12 + 3، 15 + 3، 20 + 3 و 24 + 3. نلاحظ أن العدد 3 مكرر في كل من ¸الصيغ• الأربع. في الجبر نستطيع أن نعبر عن جميع الصيغ السابقة بصيغة مهمة واحدة هي م + 3 حيث م هو أي عدد من أعداد المجموعة أ. أي أنه يمكن استبدال أي من الأعداد 12، 15، 20 أو 24 بالرمز م. ويُسمّى الرمز م المتغيِّر، وتُسمَّى المجموعة أ مجال هذا المتغير، أما العدد 3 في الصيغة م + 3 فيسمى الثابت وذلك لأن قيمته واحدة دائما. ويُعرّف المتغيِّر في الجبر بأنه رمز يمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر ينتمي إلى مجموعة .
(احمد عيسى الشمري)
